Kita akan menurunkan sebuah persamaan diferensial sederhana untuk menjelaskan tekanan dan gaya – gaya gravitasi yang bekerja terhadap zat cair atau gas, yang selanjutnya dapat diintegrasi baik untuk zat cair dengan kerapatan konstan maupun untuk gas dengan kerapatan yang berubah – ubah. Perhatikan sebuah elemen volume differensial yang terbentuk dari sebuah massa fluida dengan kerapatan ρ yang seragam dari sisi –sisi ∂x, ∂y, dan ∂z seperti dalam gambar 2 – 1.
Gambar 2 – 1 Diferensial elementer atas volume fluida diam.
Arah koordinat z sengaja dibuat berlawanan dengan arah percepatan gravitasi. Tekanan dinyatakan dengan ρ pada pusat elemen dan dianggap bervariasi ke semua jurusan. Karena fluida diandaikan dalam keadaan diam, tentu ada kesetimbangan gaya – gaya dari luar yang bekerja terhadap elemen. Dengan mengambil harga limit apabila volume mendekati volume sebuah titik, kesetimbangan ini diekspresikan menurut ketiga komponen arahnya sebagai berikut;
Arah x
(2-Ia)
Arah y
(2-Ib)
Arah z
(2-1c)
Dalam bentuk vektor. Hubungan – hubungan ini diekspresikan sebagai Δp = pg dengan operator gradient ϋ menyatakan differensiasi terhadap berbagai komponen arah. Dalam system koordinat cartesius diatas, V = i / x + j / y + k / z dengan I, j dan ksatuan vector dalam arah x, y dan z. persamaan – persamaan (2-1) mengungkapkan hal – hal nyata yang sering dijumpai bahwa (1) itensitas tekanan berkurang dengan berkurangnya ketinggian (dp negative bila dz positif), dan (2) itensitas tekanan tidak berubah bila ketinggian tidak berubah (dz sama dengan nol, dank arena itu dp sama dengan nol) oleh karena itu sebagai contoh (a) itensitas tekanan berkurang bila kita naik kepermukaan danau dari suatu kedalaman tertentu, atau bila kita naik tinggi keudara; dan (b) itensitas tekanan pada kedalaman 20 m didalam danau disuatu tempat sama dengan itensitas tekanan pada kedalaman 20m di bagian danau yang lain. Bagaimanapun tekanan pada ketinggian yang sama dalam sebuah bejana yang dipercepat secara horizontal atau perputaran tidak sama karena adanya percepatan horizontal atau radial itu.
